基礎理論

100人のクラスで、数学が好きな人40人、英語が好きな人35人、理科が好きな人30人。数学と英語が両方好きな人12人、数学と理科が両方好きな人10人、英語と理科が両方好きな人8人、3教科すべてが好きな人は4人だった。少なくとも1教科が好きな人の人数として正しいものはどれか。

ア.79人正解

イ.75人

ウ.83人

エ.77人

解説

包除原理は「ダブりを引いて、引きすぎた分を戻す」鍋料理。3つの集合の合計から2集合の交わりを全部引き、引きすぎた3集合の交わりを足し戻す——1回の式で決まる。

なぜアが正解か

アが正解。包除原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|。代入：40+35+30-12-10-8+4=105-30+4=79人。検証：40+35=75、75+30=105、105-12=93、93-10=83、83-8=75、75+4=79✓。

なぜイは間違いか

75人。3教科全員(4人)を足し戻す手順を忘れた場合の答え。包除原理は「引いて→足す」の2段階セット。

なぜウは間違いか

83人。2集合の交わりのうち「英語と理科の8人」だけ引き忘れた場合。3つの組み合わせすべてを引くこと。

なぜエは間違いか

77人。3教科全員を2人分しか加算しなかった誤り。|A∩B∩C|は+1回だけ足し戻す。

出典: AI生成問題（学習用）

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ド・モルガンの法則を利用して、論理式 ¬(A ∨ ¬B) を同値変換した結果として正しいものはどれか。

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ある工場では製品の5%が不良品である。検査機は不良品を95%の確率で「不合格」と判定し、良品を90%の確率で「合格」と判定する。ランダムに選んだ製品が「不合格」と判定されたとき、それが実際に不良品である確率として最も近いものはどれか。